Thực đơn
Định lý Pythagoras
Định lý này có thể coi là định lý có nhiều cách chứng minh nhất (luật tương hỗ bậc hai là một định lý khác có nhiều cách chứng minh); trong cuốn sách The Pythagorean Proposition nêu ra 370 cách chứng minh cho định lý Pytago.[11]
Chứng minh này dựa trên sự tỉ lệ thuận của các cạnh của hai tam giác đồng dạng, tức là nó dựa trên tỉ số của hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là như nhau với kích thước của tam giác là bất kỳ.
Gọi ABC là một tam giác vuông, với góc vuông nằm tại đỉnh C, như ở hình bên. Vẽ đường cao tam giác từ điểm C, và gọi H là chân đường cao nằm trên cạnh AB. Điểm H chia chiều dài cạnh huyền c thành hai đoạn AH và BH. Tam giác mới ACH đồng dạng với tam ABC, bởi vì chúng đều có góc vuông (như theo định nghĩa của đường cao), và có chung góc tại đỉnh A, điều này có nghĩa rằng góc thứ ba còn lại cũng bằng nhau, ký hiệu θ như trong hình. Lập luận tương tự, tam giác CBH cũng đồng dạng với tam giác ABC. Chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa trên mệnh đề về các góc trong tam giác: tổng các góc trong một tam giác bằng hai lần góc vuông, và tương đương với tiên đề về hai đường thẳng song song. Hai tam giác đồng dạng cho tỉ số của các cạnh tương ứng là bằng nhau:
B C A B = B H B C and A C A B = A H A C . {\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}Tỉ số thứ nhất bằng cosine của góc θ, và tỉ số thứ hai bằng sin của góc này.
Viết lại các tỉ số này
B C 2 = A B × B H and A C 2 = A B × A H . {\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}Cộng hai vế của hai đẳng thức
B C 2 + A C 2 = A B × B H + A B × A H = A B × ( A H + B H ) = A B 2 , {\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}và cuối cùng thu được định lý Pytago:
B C 2 + A C 2 = A B 2 {\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}}Có nhiều tranh luận xung quanh vai trò của chứng minh này trong lịch sử toán học. Câu hỏi đặt ra là tại sao Euclid đã không sử dụng chứng minh này mà ông đã nghĩ ra một cách khác. Một phỏng đoán cho rằng cách chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng bao gồm định lý về tỉ lệ, một chủ đề không được thảo luận cho đến tận khi ông viết cuốn Cơ sở (Elements), và định lý tỉ lệ cần được phát triển thêm ở thời điểm đó.[12][13]
Tóm tắt nội dung chứng minh của Euclid nêu ra trong cuốn Elements. Hình vuông lớn (có cạnh là cạnh huyền) được chia thành hai hình chữ nhật bên trái và phải (xem hình). Dựng một tam giác có diện tích bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật bên trái. Sau đó dựng tam giác khác có diện tích bằng một nửa hình vuông ở cạnh bên trái. Bước tiếp theo là chứng minh hai tam giác này bằng nhau, và do đó diện tích hình vuông bên trái bằng diện tích hình chữ nhật bên trái. Lập luận tương tự cho hình vuông bên phải và hình chữ nhật bên phải. Tổng diện tích hai hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông có cạnh là cạnh huyền, và chính bằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh kề. Chi tiết chứng minh như sau.
Gọi A, B, C là các đỉnh của một tam giác vuông, với góc vuông tại A. Hạ một đường thẳng từ A vuông góc với cạnh huyền. Đường thẳng này chia hình vuông dựng trên cạnh huyền làm hai hình chữ nhật, mà sẽ chứng minh là hai hình chữ nhật này lần lượt bằng diện tích với hai hình vuông trên hai cạnh góc vuông.
Để chứng minh chặt chẽ, đòi hỏi dựa trên bốn bổ đề cơ bản sau:
Tiếp theo, mỗi hình vuông trên từng cạnh kề được liên hệ với một tam giác tương đẳng với nó, mà tam giác này lại có liên hệ tương đẳng với một hình chữ nhật vừa chia.[14]
Minh họa chia hình vuông và dựng thêm đường.Chứng minh hai tam giác bằng nhau và chúng lần lượt bằng một nửa diện tích hình chữ nhật BDLK và hình vuông BAGF.Chứng minh như sau:
Chứng minh này xuất hiện ở Định đề 47 trong tập 1 của cuốn Cơ sở của Euclid,[16] chứng tỏ rằng diện tích của hình vuông trên cạnh huyền bằng tổng diện tích của hai hình vuông trên cạnh kề.[17] Cách chứng minh này khác hẳn với chứng minh dựa trên các tam giác đồng dạng mà Pythagoras đã sử dụng để chứng minh định lý.[13][18]
Ở trên đã thảo luận về chứng minh định lý của Pytago dựa trên phương pháp sắp xếp lại hình. Ý tưởng tương tự cũng được sử dụng cho chứng minh mà miêu tả bằng ảnh động ở dưới bên trái, mà ban đầu có một hình vuông lớn với cạnh bằng a + b, bên trong nó chứa bốn tam giác vuông bằng nhau. Sau đó ảnh động cho thấy các tam giác có hai cách sắp xếp vị trí khác nhau, cách đầu tiên thu được hai hình vuông có cạnh lần lượt là a2 và b2, cách thứ hai chỉ thu được một hình vuông có cạnh c2. Bởi vì hình vuông bao ngoài không thay đổi, và diện tích của bốn tam giác là như nhau ở hai cách sắp xếp hình, do vậy các hình vuông màu đen sẽ phải có diện tích bằng nhau, cho nên a2 + b2 = c2.
Cách chứng minh thứ hai bằng cách sắp xếp lại hình được minh họa ở ảnh động thứ hai. Một hình vuông lớn có diện tích c2 được hình thành từ bốn tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và c bao quanh một hình vuông nhỏ ở trung tâm. Sau đó sắp xếp lại hình để thu được hai hình chữ nhật có các cạnh tương ứng a và b bằng cách di chuyển các tam giác. Kết hợp hình vuông nhỏ với hai hình chữ nhật này tạo thành hai hình vuông có diện tích tương ứng là a2 và b2, mà chúng phải có cùng diện tích với hình vuông lớn ban đầu.[19]
Cách thứ ba được miêu tả ở ảnh động ngoài cùng. Hai hình vuông bên trên được chia thành các mảnh với màu lục và lam khác nhau, khi sắp xếp các mảnh này lại có thể đặt vừa vào trong hình vuông ở dưới với cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông – hoặc ngược lại, hình vuông lớn ở dưới có thể chia thành các mảnh nhỏ mà sau khi sắp xếp lại các mảnh nhỏ này có thể đặt vừa vào trong hai hình vuông nằm trên hai cạnh góc vuông. Cách cắt một hình thành các phần nhỏ và sắp xếp chúng lại để thu được một hình khác gọi là bài toán phân chia (dissection problem). Từ đó đi đến kết luận là diện tích của hình vuông lớn phải bằng tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ.[20]
| Ảnh động chứng minh bằng cách sắp xếp lại bốn hình tam giác vuông. | Ảnh động minh họa một cách sắp xếp khác. | Chứng minh sử dụng phương pháp phân chia. |
Albert Einstein lúc 11 tuổi đã đưa ra một chứng minh bằng cách phân chia mà không cần thiết phải di chuyển sắp xếp lại các hình.[21] Thay vì sử dụng một hình vuông trên cạnh huyền và hai hình vuông trên hai cạnh kề, ông sử dụng một hình khác bao gồm cạnh huyền, và hai hình đồng dạng mà bao gồm một trong hai cạnh kề thay cho cạnh huyền. Trong chứng minh của Einstein, hình bao gồm cạnh huyền chính là tam giác vuông lớn ban đầu. Thực hiện phân chia tam giác này bằng cách hạ đường cao từ đỉnh của góc vuông xuống cạnh huyền, chia tam giác vuông thành hai tam giác vuông nhỏ hơn. Hai tam giác vuông này đồng dạng với tam giác vuông ban đầu, và có cạnh huyền là cạnh góc vuông của tam giác ban đầu, và tổng diện tích của chúng bằng diện tích tam giác ban đầu. Bởi vì tỉ số diện tích của một tam giác vuông với diện tích của một hình vuông dựng trên cạnh huyền của nó là bằng nhau đối với các tam giác đồng dạng, mối liên hệ giữa diện tích của ba tam giác cũng thỏa mãn cho các hình vuông dựng tương ứng trên các cạnh của hình vuông lớn.
Có thể chứng minh định lý bằng phương pháp đại số sử dụng bốn tam giác vuông bằng nhau có cạnh a, b và c, chúng được xếp trong một hình vuông cạnh c như ở hình phía trên của hai hình bên cạnh.[22] Các tam giác có cùng diện tích 1 2 a b {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab} , trong khi hình vuông nhỏ có cạnh b − a và diện tích (b − a)2. Diện tích của hình vuông lớn sẽ là: ( b − a ) 2 + 4 a b 2 = ( b − a ) 2 + 2 a b = b 2 − 2 a b + a 2 + 2 a b = a 2 + b 2 . {\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}
Mà hình vuông này có cạnh là c và diện tích bằng c2, do vậy
c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}Chứng minh tương tự sử dụng bốn tam giác vuông bằng nhau xếp đối xứng xung quanh một hình vuông cạnh c, như ở hình phía dưới.[23] Kết quả cho một hình vuông lớn hơn, với cạnh a + b và diện tích (a + b)2. Bốn tam giác và hình vuông cạnh c phải bằng diện tích của hình vuông lớn hơn,
( b + a ) 2 = c 2 + 4 ⋅ a b 2 = c 2 + 2 a b , {\displaystyle \left(b+a\right)^{2}=c^{2}+4\cdot {\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}từ đó
c 2 = ( b + a ) 2 − 2 a b = b 2 + 2 a b + a 2 − 2 a b = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.} Minh họa chứng minh của Garfield.Trước khi trở thành tổng thống Hoa Kỳ, James A. Garfield (khi ấy là Hạ nghị sĩ) đã đưa ra một cách chứng minh cho định lý Pytago.[24][25] Thay vì sử dụng một hình vuông ông lại sử dụng hình thang, mà được dựng từ hình vuông trong chứng minh thứ hai ở trên bằng cách chia theo đường chéo của hình vuông bên trong, sẽ thu được hình thang như ở hình vẽ bên cạnh. Diện tích của hình thang khi đó bằng một nửa hình vuông, và bằng
1 2 ( b + a ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.}Hình vuông bên trong cũng bị chia một nửa diện tích, và chỉ có hai tam giác vuông còn lại nên có đẳng thức:
1 2 ( b + a ) 2 = 1 2 c 2 + 2 ( 1 2 a b ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(b+a\right)^{2}={\frac {1}{2}}c^{2}+2\left({\frac {1}{2}}ab\right)}sau khi thu gọn đẳng thức có được điều phải chứng minh.
Có thể đi đến định lý Pytago bằng cách nghiên cứu sự thay đổi của một cạnh kề tạo ra thay đổi như thế nào đối với cạnh huyền và áp dụng phương pháp vi tích phân.[26][27][28]
Tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC. Tại thời điểm ban đầu, cạnh huyền có độ dài y, cạnh kề AC có độ dài x và cạnh AB có độ dài a, như chỉ ra ở hình vẽ bên dưới.
Hình vẽ cho chứng minh bằng vi tích phân.Sau đó, nếu x dài thêm một lượng nhỏ dx bằng cách kéo dài AC một đoạn ngắn về điểm D, thì y cũng tăng tương ứng một đoạn dy. Chúng tạo thành hai cạnh của một tam giác, CDE, trong đó (với E được chọn sao cho CE vuông góc với cạnh huyền) nó là tam giác gần đồng dạng với ABC. Do vậy tỉ số giữa các cạnh phải xấp xỉ bằng nhau, tức là:
d y d x = x y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}Viết lại biểu thức thành y d y = x d x {\displaystyle y\,dy=x\,dx} , hay chính là phương trình vi phân mà giải được bằng cách lấy tích phân hai vế:
∫ y d y = ∫ x d x , {\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,,}thu được
y 2 = x 2 + C . {\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}Hằng số tích phân được chọn khi cho x = 0, thì y = a do đó có phương trình
y 2 = x 2 + a 2 . {\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}Chứng minh này cho cái nhìn trực giác hơn so với chứng minh hình thức phức tạp nếu các giới hạn được sử dụng thay thế cho dx và dy.
Thực đơn
Định lý PythagorasLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Định lý Pythagoras